Método de Newton

Método de Newton

O método de Newton é uma técnica numérica para aproximar uma raiz de uma função usando-se as raízes de sua linearização.

Procedimento

1. Escolha uma primeira aproximação para resolver a equação f(x) = 0. Um gráfico de y = f(x) pode ajudá-lo.
2. Use a primeira aproximação para obter uma segunda, a segunda para obter uma terceira e assim por diante, utilizando a fórmula:

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

Passos na Otimização de Problemas

Gabarito da 2ª lista

A forma de um gráfico (16/05/2016)

Teste da Primeira Derivada para funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, então:

f é crescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I, x1 < x2, logo f(x1) < f(x2).
f é decrescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I, x2 < x1, logo f(x2) < f(x1).

Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais

Em um ponto crítico x = c,
1. Se f' é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f possui um mínimo local em c.
2. Se f' é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f possui um máximo local em c.
3. Se f' possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é um extremo local de f.

O Teste da Segunda Derivada para Concavidade

O gráfico de uma função duplamente derivável y = f(x) é
(a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.
(a) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.

Pontos de Inflexão

Um ponto  onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão.
Para determinar um ponto de inflexão de uma função duplamente derivável, faz:

f(x)'' = 0

Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais

1. Se f'(c) = 0 e f''(c) < 0, então f possui um máximo local quando x = c.
2. Se f'(c) = 0 e f''(c) > 0, então f possui um mínimo  local quando x = c.

Resumo

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

Lista de Exercícios

Teorema do Valor Médio

Teorema de Rolle

Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e derivável em todos os pontos de (a, b). Se

f(a) = f(b) = 0

então há pelo menos um número c em (a, b) onde f'(c) = 0.

O Teorema do Valor Médio

Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a , b). Então há pelo menos um ponto c em (a, b) em que

Corolário 1: Funções em Derivadas Nulas São Funções Constantes

Se f'(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f(x) = C, para qualquer x em I, onde C é uma constante.

Corolário 2: Funções com a Mesma Função Derivada em um Intervalo Diferem por uma Constante

Se f'(x) = g'(x) em todo ponto de um intervalo I, então existe uma constante C tal que f(x) = g(x) + C para qualquer x em I.

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

2º Bimestre Aplicações de Derivadas: Extremos de Funções

Parte 1: 29/04/2016
Extremos Absolutos (Globais)

Definição:
Seja f, uma função de domínio D. Então f(c) é:
(a) o máximo absoluto de f em D  se e somente  se f(x) ≤ f(c) para qualquer seja x em D.
(b) o mínimo absoluto de f em D  se e somente  se f(x) ≥ f(c) para qualquer seja x em D.

Os extremos Globais podem ser chamados de mínimos ou máximos. Os extremos Globais podem ocorrer ou não dependendo se uma função f tem  seu domínio D determinado por intervalos finitos ou não.

Exemplo (G.Thomas):

Teorema do Valor Extremo para Funções Contínuas

Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I, ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f(x1) = m e f(x2) = M e m ≤ f(x) ≤ M para qualquer outro valor de x em I. 

Extremos Locais

Definição: Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f(c) será

(a) um valor máximo local em c se e somente  se f(x) ≤ f(c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.
(b) um valor mínimo local em c se e somente   se f(x) ≥ f(c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

Teorema dos Extremos Locais

Se uma função f possui máximo ou mínimo locais em um ponto e interior de seu domínio e se f' existe em c, então:

f'(c) = 0 

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,