Método de Newton

Método de Newton

O método de Newton é uma técnica numérica para aproximar uma raiz de uma função usando-se as raízes de sua linearização.

Procedimento

1. Escolha uma primeira aproximação para resolver a equação f(x) = 0. Um gráfico de y = f(x) pode ajudá-lo.
2. Use a primeira aproximação para obter uma segunda, a segunda para obter uma terceira e assim por diante, utilizando a fórmula:

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

Passos na Otimização de Problemas

Gabarito da 2ª lista

A forma de um gráfico (16/05/2016)

Teste da Primeira Derivada para funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, então:

f é crescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I, x1 < x2, logo f(x1) < f(x2).
f é decrescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I, x2 < x1, logo f(x2) < f(x1).

Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais

Em um ponto crítico x = c,
1. Se f' é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f possui um mínimo local em c.
2. Se f' é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f possui um máximo local em c.
3. Se f' possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é um extremo local de f.

O Teste da Segunda Derivada para Concavidade

O gráfico de uma função duplamente derivável y = f(x) é
(a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.
(a) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.

Pontos de Inflexão

Um ponto  onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão.
Para determinar um ponto de inflexão de uma função duplamente derivável, faz:

f(x)'' = 0

Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais

1. Se f'(c) = 0 e f''(c) < 0, então f possui um máximo local quando x = c.
2. Se f'(c) = 0 e f''(c) > 0, então f possui um mínimo  local quando x = c.

Resumo

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

Lista de Exercícios

Teorema do Valor Médio

Teorema de Rolle

Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e derivável em todos os pontos de (a, b). Se

f(a) = f(b) = 0

então há pelo menos um número c em (a, b) onde f'(c) = 0.

O Teorema do Valor Médio

Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a , b). Então há pelo menos um ponto c em (a, b) em que

Corolário 1: Funções em Derivadas Nulas São Funções Constantes

Se f'(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f(x) = C, para qualquer x em I, onde C é uma constante.

Corolário 2: Funções com a Mesma Função Derivada em um Intervalo Diferem por uma Constante

Se f'(x) = g'(x) em todo ponto de um intervalo I, então existe uma constante C tal que f(x) = g(x) + C para qualquer x em I.

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

2º Bimestre Aplicações de Derivadas: Extremos de Funções

Parte 1: 29/04/2016
Extremos Absolutos (Globais)

Definição:
Seja f, uma função de domínio D. Então f(c) é:
(a) o máximo absoluto de f em D  se e somente  se f(x) ≤ f(c) para qualquer seja x em D.
(b) o mínimo absoluto de f em D  se e somente  se f(x) ≥ f(c) para qualquer seja x em D.

Os extremos Globais podem ser chamados de mínimos ou máximos. Os extremos Globais podem ocorrer ou não dependendo se uma função f tem  seu domínio D determinado por intervalos finitos ou não.

Exemplo (G.Thomas):

Teorema do Valor Extremo para Funções Contínuas

Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I, ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f(x1) = m e f(x2) = M e m ≤ f(x) ≤ M para qualquer outro valor de x em I. 

Extremos Locais

Definição: Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f(c) será

(a) um valor máximo local em c se e somente  se f(x) ≤ f(c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.
(b) um valor mínimo local em c se e somente   se f(x) ≥ f(c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

Teorema dos Extremos Locais

Se uma função f possui máximo ou mínimo locais em um ponto e interior de seu domínio e se f' existe em c, então:

f'(c) = 0 

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 
[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. 
[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

Correção do Gabarito

Derivadas de funções trigonométricas inversas.

Gabarito lista

Derivada de funções Implícita

Derivada de funções Implícitas


As funções podem ser representadas de forma explícita e implícita
A função explícita quando tem a saída y determinada por um expressão escrita em x.

y = f(x)

A função implícita quando tem a saída y determinada na resolução de uma função escrita na forma Φ(y,x) = 0.

A derivação implícita requer 4 passos:

Passo 1. Derive os dois lados da equação em relação a x, considerando y como uma função derivável de x.

Passo 2. Reúna os termos que contem dy/dx em um lado da equação.

Passo 3. Fatore isolando dy/dx.

Passo 4. Encontre dy/dx.

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 

[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil.

Regra da Cadeia

Aula 5 Derivada de Funções Exponenciais 11/03/2016

Derivada de uma Função Exponencial 
A derivada de uma função exponencial ex é ela mesma.

Se u é uma função derivável por x:

Derivada de ax:

Se a > 0 e a ≠1, 

Derivada de ln(x)

Se u for uma função derivável de e u > 0,

Derivada de loga(x)

Se a > 0 e a ≠1, 

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. 

[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil.

Aula 4 (04/03/2016) : Derivadas Funções Trigonométricas

Derivadas de funções trigonométricas

Derivada da função seno

Pela definição:

Usando a identidade trigonométrica da soma dos ângulos do seno:

sen(a + b) = sen(a).cos(b) + cos(a).sen(b)

Derivada da função coseno

Pela Definição:

Usando a identidade trigonométrica da soma dos ângulos do cosseno:

cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)

Derivadas de funções Trigonométricas Básicas

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002.

[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil.

Aula 3 26/02/2016

Derivadas de Produtos, Quociente e Potências Negativas


Derivada de Produto

A derivada de um produto de duas funções é soma dois produtos.
Se u e v são deriváveis em x, então o produto uv também é

A derivada do produto uv é u multiplicado pela derivada de v somando a v multiplicado pela derivada de u.

Em notação:
(uv)' = uv' + vu' 

Derivada de Quociente

Se u e v são deriváveis em x e se v(x) diferente de zero, então o quociente u/v é derivável em x e então:

Derivadas de Potências Negativas

A regra da potência negativa é a mesma para potências positivas. Para aplicar a Regra da Potencialização, subtraímos 1 do expoente original negativo (n) e multiplicamos o resultado por n.

Referências

[1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002.

[2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil.

[3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

Lista de Cálculo 1º Bimestre

Aula 2 22/02/2016

Aula 2: Derivadas de funções constantes, potência, multiplicação por constante e soma. 

      Notação de uma função derivada:

A forma de representar a derivada de uma função y = f(x) pode ser por: 

A derivada de y em relação a x, com x = a

A  derivada de uma função constante

Se f tem o valor constante f(x) = c, então:

A  derivada de uma função com potências inteiras e positivas

Se n for um positivo inteiro então:

Para aplicar a Regra da Potencialização, subtraímos 1 do expoente original (n) e multiplicamos o resultado por n.

Derivada da multiplicação por constante

Se f é uma função derivável de x e C uma constante então:

Derivada de uma soma de  funções

Se f e g são deriváveis por x então:

Referências [1] THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002. [2] FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil. [3] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,

Aula 1- 17/02/2016 e 19/02/2015

Aula 1

Derivadas

As derivadas representam as informações sobre taxas ou comportamento de variações das funções.

Definição de Derivada

A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f cujo valor em x é:

Desde que o limite exista.

O domínio de f’ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe. Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor. Se f’ para um determinado valor de x, dizemos que f é derivável em x. Se f’ existe em todo ponto do domínio de f, chamado f de derivável.

Calculando f’(x) a partir da Definição de Derivada

Passo 1: Escreva expressões para f(x) e f(x+h)

Passo 2: Desenvolva e simplifique o quociente de diferença



Passo 3: Usando o quociente simplificado, encontre f’(x) calculando o limite

Exemplos

Calcule a derivada das funções pela definição:

Referências

THOMAS, George B. – Cálculo volume 1 ed. Pearson Education do Brasil, 2002.
FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian - Cálculo A. ed. Pearson Education do Brasil.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1- ed. São Paulo: Harbra,